Abitur Brandenburg Mathematik 2024 · LK · Teil A · Analytische Geometrie

1 Aufgabe

Die Punkte $B(4|3|12)$ und $C(2|4|10)$ sind Eckpunkte eines Parallelogramms $ABCD$, dessen Diagonalen sich im Punkt $M(3|2|1)$ schneiden.

a

Verschiebt man jeden der Punkte A, B, C, D und M parallel zur $x_3$-Achse in die $x_1x_2$-Ebene, so ergeben sich die Punkte $\text{A}'$, $\text{B}'$, $\text{C}'$, $\text{D}'$ bzw. $\text{M}'$. Das Viereck $\text{A}'\text{B}'\text{C}'\text{D}'$ ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt $\text{M}'$ schneiden.

Zeichnen Sie $\text{A}'\text{B}'\text{C}'\text{D}'$ und $\text{M}'$ in die Abbildung ein.

b

Berechnen Sie den Wert des Skalarprodukts $\vec{\text{CM}} \circ \vec{\text{CB}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -9 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und beurteilen Sie, ob der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{\text{CM}}$ und $\vec{\text{CB}}$ kleiner als $90^\circ$ ist.

1 Aufgabe

Die Punkte $B(4|3|12)$ und $C(2|4|10)$ sind Eckpunkte eines Parallelogramms $ABCD$, dessen Diagonalen sich im Punkt $M(3|2|1)$ schneiden.

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_a: 2ax_1 - 4x_2 + (a-2)x_3 = 12$ mit $a \in \mathbb{R}$.

a

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$, für den $E_a$ parallel zur Gerade mit der Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $b \in \mathbb{R}$ verläuft.

b

Prüfen Sie, ob die Ebene mit der Gleichung $6x_1 - 8x_2 + x_3 = 24$ zur Schar gehört.

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte $A(1|2|1)$, $B$, $C(-3|-6|9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2x_1 + x_2 + 2x_3 = 6$.

a)

Weisen Sie nach, dass die Kantenlänge des Würfels $12$ beträgt.

b)

Bestimmen Sie die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

$($ $|$ $|$ $)$

Die Abbildung zeigt die Punkte A, B und P. Die Ebene, in der die drei Punkte liegen, wird durch die Zeichenebene dargestellt.

Betrachtet werden Geraden g, g* und h, für die gilt:

g verläuft durch A, g* durch B und h durch P.

g und g* schneiden sich in P.

Wird g an h gespiegelt, so entsteht g*.

a)

Zeichnen Sie die Gerade g, die Gerade g* und eine Gerade h in die Abbildung ein.

b)

Geben Sie einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten A, B und P der Ortsvektor eines weiteren Punktes von h bestimmt werden kann.

Gegeben ist die Schar der Geraden $g_k: \vec{x} = \begin{pmatrix} k \\ -4k \\ k \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R}$.

a)

Begründen Sie, dass alle Geraden der Schar parallel zueinander sind. [1 BE]

b)

Betrachtet wird das Quadrat mit folgenden Eigenschaften:

Die Punkte $O(0|0|0)$ und $P(11|4|5)$ sind Eckpunkte des Quadrats.

Zwei Seiten des Quadrats liegen auf Geraden der Schar.

Weisen Sie nach, dass $O$ und $P$ keine benachbarten Eckpunkte dieses Quadrats sind. [4 BE]