Abitur Brandenburg Mathematik 2018 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen x-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen y-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der x-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

1 Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ S. Diese kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -x^4 + 2x^3 + \frac{1}{2}x + 2$ beschrieben werden.

Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ S. Diese kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -x^4 + 2x^3 + \frac{1}{2}x + 2$ beschrieben werden.

a)

Geben Sie die Abwurfhöhe an und zeigen Sie, dass die Flugweite etwa $2{,}27\text{ m}$ beträgt.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen x-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen y-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der x-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

1 Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ S. Diese kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -x^4 + 2x^3 + \frac{1}{2}x + 2$ beschrieben werden.

Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ S mit $s(x) = -x^4 + 2x^3 + \frac{1}{2}x + 2$.

b)

Zeigen Sie, dass der Papierflieger seine maximale Flughöhe besitzt, wenn seine horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt etwa $1{,}55\text{ m}$ beträgt. Geben Sie diese Flughöhe an.

c)

Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Wendepunkte des Graphen von $s$ und geben Sie die jeweilige Steigung des Graphen von $s$ in den Wendepunkten an.

$x_1 =$

$y_1 =$

Steigung $s'(x_1) =$

$x_2 =$

$y_2 =$

Steigung $s'(x_2) =$

d)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Wendepunkts mit der größeren $x$-Koordinate im Hinblick auf die Steigung der Flugkurve des Papierfliegers.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich bei jedem Flug entlang einer Flugkurve vom Typ P bewegt. Er wird in $2\text{ m}$ Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe in einer horizontalen Entfernung von $2\text{ m}$ vom Abwurfpunkt. Seine möglichen Flugkurven lassen sich näherungsweise mithilfe ganzrationaler Funktionen zweiten Grades beschreiben.

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich bei jedem Flug entlang einer Flugkurve vom Typ P bewegt. Er wird in $2\text{ m}$ Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe in einer horizontalen Entfernung von $2\text{ m}$ vom Abwurfpunkt. Seine möglichen Flugkurven lassen sich näherungsweise mithilfe ganzrationaler Funktionen zweiten Grades beschreiben.

a)

Begründen Sie, dass die möglichen Flugkurven dieses Papierfliegers im Modell durch den Punkt $(4 \mid 2)$ verlaufen.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich bei jedem Flug entlang einer Flugkurve vom Typ P bewegt. Er wird in $2\text{ m}$ Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe in einer horizontalen Entfernung von $2\text{ m}$ vom Abwurfpunkt. Seine möglichen Flugkurven lassen sich näherungsweise mithilfe ganzrationaler Funktionen zweiten Grades beschreiben.

Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ P. Er wird in $2\text{ m}$ Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe bei $x = 2$.

b)

Zeigen Sie, dass sich alle möglichen Flugkurven dieses Papierfliegers im Modell mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_k$ mit $p_k(x) = -0{,}25k \cdot x^2 + k \cdot x + 2$ und $k \in \mathbb{R}^+$ beschreiben lassen.

c)

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $k$, für den der Papierflieger eine Flugweite von $6\text{ m}$ hat. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen $p_{\frac{1}{4}}$ und $p_{\frac{2}{3}}$.

$k =$

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich bei jedem Flug entlang einer Flugkurve vom Typ P bewegt. Er wird in $2\text{ m}$ Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe in einer horizontalen Entfernung von $2\text{ m}$ vom Abwurfpunkt. Seine möglichen Flugkurven lassen sich näherungsweise mithilfe ganzrationaler Funktionen zweiten Grades beschreiben.

d Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a;b]$ mit $a,b \in \mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit erster Ableitungsfunktion $h'$, so gilt für die Länge $L$ dieses Kurvenstücks:

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(h'(x)\right)^2}\,\mathrm{d}x$$

Untersuchen Sie rechnerisch, ob $p_{\frac{1}{4}}$ oder $p_{\frac{2}{3}}$ die längere Flugkurve beschreibt.

1.

m

2.

m

3.

$p_{\frac{1}{4}}$

$p_{\frac{2}{3}}$

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der $x$-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich bei jedem Flug entlang einer Flugkurve vom Typ P bewegt. Er wird in $2\text{ m}$ Höhe abgeworfen und erreicht seine größte Höhe in einer horizontalen Entfernung von $2\text{ m}$ vom Abwurfpunkt. Seine möglichen Flugkurven lassen sich näherungsweise mithilfe ganzrationaler Funktionen zweiten Grades beschreiben.

e Bestimmen Sie den Wert von $k$ so, dass der Abwurfwinkel der mithilfe von $p_k$ beschriebenen Flugkurve ebenso groß ist wie der Abwurfwinkel der mithilfe der Funktion $s$ beschriebenen Flugkurve.

e)

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen x-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen y-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der x-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit Flugkurven des Typs G. Eine solche Flugkurve soll mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$$g(x) = 2e^{-0{,}02x^2+0{,}1x}$$

beschrieben werden.

3 Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit Flugkurven des Typs G. Eine solche Flugkurve soll mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x) = 2e^{-0{,}02x^2 + 0{,}1x}$ beschrieben werden.

a Beurteilen Sie die Eignung von $g$ zur modellhaften Beschreibung der Flugkurve bezogen auf den Verlauf des Graphen von $g$ für $x \to \infty$.

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen x-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen y-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der x-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit Flugkurven des Typs G. Eine solche Flugkurve soll mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit

$$g(x) = 2e^{-0{,}02x^2+0{,}1x}$$

beschrieben werden.

b)

Die Flugweite beträgt $15{,}3\text{ m}$. Der erste Teil der Flugkurve lässt sich mithilfe von $g$ beschreiben. Ab einem bestimmten Punkt kann der weitere Verlauf der Flugkurve bis zum Boden durch eine Gerade dargestellt werden. Dieser zweite Teil der Flugkurve hat eine Länge von $10{,}6\text{ m}$.

Bestimmen Sie die horizontale Entfernung des Übergangs vom ersten zum zweiten Teil der Flugkurve vom Abwurfpunkt und prüfen Sie, ob dieser Übergang ohne Knick erfolgt.

Gegeben ist die Funktion $f \text{:} \text{ } x \mapsto \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + \frac{15}{2}x$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$.

1 Ein Ballon schwebt zu Beobachtungsbeginn in einer Höhe von $50\text{ m}$. In den folgenden fünf Minuten lässt sich seine Geschwindigkeit in vertikaler Richtung modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschreiben. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in vertikaler Richtung in $10\text{ Meter pro Minute}$.

a

Skizzieren Sie die Geschwindigkeit des Ballons in vertikaler Richtung in Abhängigkeit von der Zeit. Markieren Sie den Zeitraum, in dem diese Geschwindigkeit größer als 30 Meter pro Minute ist.

Gegeben ist die Funktion $f \text{:} \text{ } x \mapsto \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + \frac{15}{2}x$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$.

1 Ein Ballon schwebt zu Beobachtungsbeginn in einer Höhe von $50\text{ m}$. In den folgenden fünf Minuten lässt sich seine Geschwindigkeit in vertikaler Richtung modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschreiben. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in vertikaler Richtung in $10\text{ Meter pro Minute}$.

b

Zeigen Sie rechnerisch, dass der Ballon ungefähr zum Zeitpunkt 1,2 Minuten nach Beobachtungsbeginn am schnellsten steigt und bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem er am schnellsten sinkt. Geben Sie für jeden der beiden Zeitpunkte die zugehörige Geschwindigkeit in vertikaler Richtung an.

Gegeben ist die Funktion $f \text{:} \text{ } x \mapsto \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + \frac{15}{2}x$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$.

1 Ein Ballon schwebt zu Beobachtungsbeginn in einer Höhe von $50\text{ m}$. In den folgenden fünf Minuten lässt sich seine Geschwindigkeit in vertikaler Richtung modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschreiben. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in vertikaler Richtung in $10\text{ Meter pro Minute}$.

c)

Für eine der Nullstellen von $f$ gilt $0 < x < 5$. Beschreiben Sie deren Bedeutung hinsichtlich der Höhe des Ballons. [2 BE]

d)

Entscheiden Sie, ob die Höhe des Ballons fünf Minuten nach Beobachtungsbeginn größer ist als die Höhe zu Beobachtungsbeginn, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Skizze zu Teilaufgabe 1 a. [3 BE]

e)

Begründen Sie, dass der Term $10 \cdot \int_{0}^{x} f(z)\,\mathrm{d}z + 50$ für $0 \leq x \leq 5$ die Höhe des Ballons in Metern in Abhängigkeit von der Zeit angibt. Gehen Sie dabei auch auf die Bedeutung der Zahlen 10 und 50 ein. [4 BE]

f)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem der Ballon erstmalig seit Beobachtungsbeginn eine Höhe von $120\,\mathrm{m}$ erreicht. [3 BE]

Minuten

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + \frac{15}{2}x$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$.

Für jede reelle Zahl $u$ mit $0 < u < 3$ wird das rechtwinklige Dreieck $OPQ$ betrachtet. Für dessen Eckpunkte gilt:

$O$ ist der Koordinatenursprung.

$P$ hat die x-Koordinate $u$ und liegt auf der x-Achse.

$Q$ hat die x-Koordinate $u$ und liegt auf dem Graphen der gegebenen Funktion $f$.

a)

Bestimmen Sie für $u = 2$ die Längen der Seiten des zugehörigen Dreiecks $OPQ$.

b)

Rotiert eines der Dreiecke $OPQ$ um seine Seite $\overline{OP}$, so entsteht ein Körper. Begründen Sie, dass sich das Volumen des Körpers mit dem Term $\frac{1}{3}\pi \cdot (f(u))^2 \cdot u$ berechnen lässt.

c)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $u$, für den das Volumen des Körpers maximal ist.

Für jede reelle Zahl $a$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a: x \mapsto \frac{1}{2}x^3 - a \cdot x^2 + \frac{15}{2}x$ betrachtet.

a

Die abgebildeten Graphen A, B und C gehören jeweils zu einem der Werte $a = 3$, $a = 3{,}5$ und $a = 4$. Ordnen Sie jedem dieser Werte den zugehörigen Graphen zu.

c

Beschreiben Sie, wie der Graph von $f_{-a}$ aus dem Graphen von $f_a$ hervorgeht.

Für jede reelle Zahl $a$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a: x \mapsto \frac{1}{2}x^3 - a \cdot x^2 + \frac{15}{2}x$ betrachtet.

b)

Untersuchen Sie für $a \geq 0$ in Abhängigkeit von $a$ den Graphen von $f_a$ auf die Anzahl der Punkte, in denen die jeweilige Tangente an den Graphen parallel zur $x$-Achse verläuft.

Der Graph von $f_a$ für $a = \frac{3}{2}\sqrt{5}$ zeichnet sich gegenüber den Graphen für alle anderen Werte von $a$ durch einen besonderen Verlauf aus. Beschreiben Sie die Besonderheit dieses Verlaufs.