Abitur Berlin Mathematik 2019 · GK · Teil B · Analysis (CAS)

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

a

Zeigen Sie rechnerisch, dass der tiefste Punkt der Bahn F unterhalb ihres Endpunkts liegt.

c

Bestimmen Sie die Lage desjenigen Punkts der Bahn F, in dem diese das größte Gefälle hat.

f

Betrachtet werden alle Paare eines Punkts der Bahn F und eines Punkts der Bahn G, die die gleiche horizontale Entfernung vom jeweiligen Startpunkt haben. Für jedes dieser Paare kann der Höhenunterschied der beiden Punkte bestimmt werden. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Der Höhenunterschied ist für das Paar derjenigen Punkte am größten, in denen die beiden Bahnen das gleiche Gefälle haben.

h

Betrachtet wird diejenige Seitenfläche des Körpers der Bahn G, die in den Abbildungen 1 und 2 grau markiert ist; ihr oberer Rand hat die Form der Profillinie. An dieser Seitenfläche soll ein rechteckiges Schild angebracht werden. Dabei soll eine Kante des Schilds auf der längeren seitlichen Kante der Seitenfläche liegen, eine zweite Kante des Schilds auf der unteren Kante der Seitenfläche und ein Eckpunkt des Schilds auf dem oberen Rand der Seitenfläche.

Stellen Sie ein Schild, das diese Bedingungen erfüllt, im Koordinatensystem aus Teilaufgabe d dar. Bestimmen Sie die Seitenlängen des Schilds so, dass dieses den größtmöglichen Flächeninhalt hat.

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

b)

Im fallenden Abschnitt der Bahn F gibt es einen Punkt, der auf der Höhe des Endpunkts liegt. Bestimmen Sie für diesen Punkt den Abstand vom Endpunkt.

d)

Zeichnen Sie den Graphen von $f$ für $0 \le x \le 2$.

k)

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

Für alle Punkte $(x|h(x))$ des Graphen von $h$ gilt:

$$\left(\frac{25}{16}-x\right)^2 + (2-h(x))^2 = \left(\frac{25}{16}\right)^2$$

Begründen Sie damit, dass alle Punkte des Graphen von $h$ vom Punkt $M$ den Abstand $\frac{25}{16}$ haben.

l)

Die drei folgenden Rechenschritte liefern im Zusammenhang mit der Bahn H die Lösung einer Aufgabe:

$\bullet \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{25}{16} \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{25}{16} \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{25}{16} \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{7}{16} \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}$

$\bullet \cos \alpha = \frac{\begin{pmatrix} -\frac{25}{16} \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} \frac{7}{16} \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix} -\frac{25}{16} \\ 0 \end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix} \frac{7}{16} \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}\right|}$

$\bullet \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot \frac{25}{16} \approx 2,9$

Formulieren Sie die zugehörige Aufgabenstellung und erläutern Sie den dargestellten Lösungsweg.

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

e)

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ für $0 \le x \le 2$ in das Koordinatensystem ein und zeigen Sie, dass $g(x) = -\frac{3}{4}x + 2$ gilt.

j)

Aufgrund der Messwerte lässt sich vermuten, dass die Geschwindigkeit der Kugel auf der Bahn, für die die Messwerte II ermittelt wurden, in jedem Punkt mindestens so groß war wie in gleicher horizontaler Entfernung vom Startpunkt auf der anderen Bahn. Der Zusammenhang zwischen den Messwerten und den horizontalen Entfernungen vom Startpunkt kann jeweils modellhaft durch eine Gleichung beschrieben werden:

Messwerte I: $v_{\text{I}}(x) = \sqrt{m \cdot x}$

Messwerte II: $v_{\text{II}}(x) = \sqrt{a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d}$

Bestimmen Sie die Werte von $m$ sowie von $a$, $b$, $c$ und $d$. Prüfen Sie, ob die beiden Modelle zu den Messwerten I und II die Vermutung stützen.

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

g) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den prozentualen Anteil desjenigen Teils des Kunststoffquaders, der nach dem Abschneiden der beiden Bahnkörper übrig bleibt.

%

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Entfernung in m

0

1,0

1,5

2,0

Geschwindigkeit in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Messwerte I

0

3,6

4,4

5,1

Messwerte II

0

5,2

5,6

5,1

i)

Ordnen Sie die Messwerte I und II jeweils einer der beiden Bahnen zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

A

Bahn G

B

Bahn F

A

Bahn F

B

Bahn G