Abitur Bayern Mathematik 2025 · LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Die Abbildung zeigt einen Würfel, bei dem ein Eckpunkt im Koordinatenursprung liegt und jede Kante parallel zu einer der drei Koordinatenachsen verläuft.

Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 4 \end{pmatrix}$ ist der Verbindungsvektor zwischen den beiden Eckpunkten $O$ und $A$ des Würfels.

a

Geben Sie einen Vektor $\vec{u}$ an, der die folgenden drei Eigenschaften hat:

$\vec{u}$ ist Verbindungsvektor zwischen zwei Eckpunkten des Würfels.

$\vec{u}$ hat die gleiche Länge wie $\vec{v}$.

$\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind nicht kollinear.

b

Betrachtet werden alle Dreiecke $OAB$, wobei $B$ ein weiterer Eckpunkt des Würfels ist. Begründen Sie, dass alle diese Dreiecke kongruent sind. Ermitteln Sie den Flächeninhalt eines dieser Dreiecke.

2 In einem zweistufigen Produktionsprozess stellt ein Betrieb aus vier Rohstoffen $R_1$, $R_2$, $R_3$ und $R_4$ zunächst die drei Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ her, aus denen dann die drei Endprodukte $E_1$, $E_2$ und $E_3$ gefertigt werden. Den Tabellen ist zu entnehmen, wie viele Mengeneinheiten (ME) der Zwischenprodukte bzw. der Rohstoffe zur Herstellung von jeweils einer ME der Endprodukte verarbeitet werden.

· $E_1$ · $E_2$ · $E_3$

$Z_1$ · 3 · 0 · 0

$Z_2$ · 1 · 4 · 0

$Z_3$ · 0 · 5 · 2

· $E_1$ · $E_2$ · $E_3$

$R_1$ · 9 · 12 · 0

$R_2$ · 3 · 42 · 12

$R_3$ · 0 · 20 · 8

$R_4$ · 0 · 10 · 4

Für einen Auftrag sollen 10 ME von jedem der drei Endprodukte produziert werden.

a

Berechnen Sie, wie viele ME des Rohstoffs $R_2$ benötigt werden. [2 BE]

ME

b

Bei diesem Auftrag sollen die gesamten Fertigungskosten für die Zwischenprodukte 1250 Geldeinheiten (GE) betragen. In diesem Zusammenhang wird die folgende Gleichung betrachtet:

$$\begin{pmatrix} 2z & z & 2z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix} = 1250$$

Erläutern Sie diese Gleichung im Sachzusammenhang. Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung und deuten Sie die Lösung im Sachzusammenhang. [6 BE]

Nach einer Lieferung von Rohstoffen befinden sich 400 ME des Rohstoffs $R_3$ und 200 ME des Rohstoffs $R_4$ im Lager. Zudem sind die Rohstoffe $R_1$ und $R_2$ in beliebiger Menge verfügbar.

Für einen anderen Auftrag sollen 10 ME des Endprodukts $E_2$ und 25 ME des Endprodukts $E_3$ produziert werden. Für diesen Auftrag soll der komplette Lagerbestand der Rohstoffe $R_3$ und $R_4$ aufgebraucht werden und der Anteil des Rohstoffs $R_1$ unter allen vier Rohstoffen 25 % betragen.

c

Ermitteln Sie die Anzahl von ME des Endprodukts $E_1$ dieses Auftrags. [5 BE]

ME