Abitur Bayern Mathematik 2023 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · MMS

1 Aufgabe

Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein $15\text{ m}$ hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung 1 ist eine der Werbeflächen grau dargestellt. Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von $80\text{ cm}$; er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.

In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte $A(5|-2|11)$, $E(-2|5|15)$ und $F(-2|-2|15)$ stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.

Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt. Die obere Kante der Mauer wird im Modell durch die Strecke zwischen den Punkten $P(20|-5|3)$ und $Q(20|25|3)$ dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch $K(24|15|1)$ beschrieben. Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck $GBH$ mit $G(4|-1|11)$ dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung 2).

Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird im Modell durch Punkte der Form $(32 - 8t \mid 5 \mid -5t^2 + 6{,}5t + 0{,}3)$ mit $t \in \mathbb{R}^+$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.

a)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche. Prüfen Sie, ob die beiden anderen Werbeflächen einen rechten Winkel einschließen.

Ja

Nein

c)

Begründen Sie, dass der Abstand der grau dargestellten Werbefläche zum Mast mit dem Abstand des Mittelpunkts der oberen Kante dieser Werbefläche zum Mast übereinstimmt.

d)

Eine Sichtlinie verläuft im Modell von K zu G. Berechnen Sie die Größe des Winkels dieser Sichtlinie gegenüber der Horizontalen.

Anforderungsniveau · Prüfungsteil · Sachgebiet 1 · digitales Hilfsmittel

erhöht · B · AG/LA (A2) · MMS

1 Aufgabe

Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein $15\text{ m}$ hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung 1 ist eine der Werbeflächen grau dargestellt. Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von $80\text{ cm}$; er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.

In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte $A(5|-2|11)$, $E(-2|5|15)$ und $F(-2|-2|15)$ stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.

Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt. Die obere Kante der Mauer wird im Modell durch die Strecke zwischen den Punkten $P(20|-5|3)$ und $Q(20|25|3)$ dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch $K(24|15|1)$ beschrieben. Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck $GBH$ mit $G(4|-1|11)$ dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung 2).

Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird im Modell durch Punkte der Form $(32 - 8t \mid 5 \mid -5t^2 + 6{,}5t + 0{,}3)$ mit $t \in \mathbb{R}^+$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.

b)

Die grau dargestellte Werbefläche liegt im Modell in einer Ebene, deren Gleichung in der Form $a \cdot x_1 + a \cdot x_2 = b$ dargestellt werden kann. Ermitteln Sie passende Werte von $a$ und $b$.

e)

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten von H.

f)

Der Ball bewegt sich im Modell in der Ebene L. Beschreiben Sie die besondere Lage von L im Koordinatensystem und geben Sie eine Gleichung dieser Ebene an.

g)

Beschreiben Sie, wie man ermitteln könnte, ob der Ball die Mauer trifft, bevor er den Boden berührt.

Die Abbildung zeigt das Viereck $ABCD$ mit $A(0|3|0)$, $B(0|9|0)$, $C(2|8|4)$ und $D(2|4|4)$. Gegeben sind außerdem die Punkte $S_t(0|6|t)$ mit $t \in \mathbb{R}_0^+$.

Im Folgenden gilt $t > 4$.

Die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $C$ schneidet die $x_1x_2$-Ebene im Punkt $C'_t$, die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $D$ schneidet diese Ebene im Punkt $D'_t$ (vgl. Abbildung).

a

Weisen Sie nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, und dass dieses Trapez kein Rechteck ist. [4 BE]

b

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks $ABCD$. [3 BE]

f

Die beiden folgenden Gleichungen $\mathrm{I}$ und $\mathrm{II}$ liefern gemeinsam einen bestimmten Wert von $t$.$$\mathrm{I}\ \ \vec{OS}_t + r \cdot \vec{S_t C} = \vec{OC}'_t \text{ mit } C'_t(x_1 \mid x_2 \mid 0) \qquad \mathrm{II}\ \ \vec{BA} \circ \vec{BC}'_t = 0$$Geben Sie für diesen Wert von $t$ die Art des Vierecks $ABC'_t D'_t$ an und begründen Sie Ihre Angabe. [5 BE]

g

Das Volumen der Pyramide $ABC'_t D'_t S_t$ wird in Abhängigkeit von $t$ durch einen der drei abgebildeten Graphen $G_1$, $G_2$ und $G_3$ dargestellt. Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]

Die Abbildung zeigt das Viereck $ABCD$ mit $A(0|3|0)$, $B(0|9|0)$, $C(2|8|4)$ und $D(2|4|4)$. Gegeben sind außerdem die Punkte $S_t(0|6|t)$ mit $t \in \mathbb{R}_0^+$.

Im Folgenden gilt $t > 4$.

Die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $C$ schneidet die $x_1x_2$-Ebene im Punkt $C'_t$, die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $D$ schneidet diese Ebene im Punkt $D'_t$ (vgl. Abbildung).

c

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Viereck $ABCD$ liegt, in Koordinatenform. [3 BE]

(zur Kontrolle: $2x_1 - x_3 = 0$)

d

Die Ebene E schneidet die $x_1x_3$-Ebene in einer Gerade. Geben Sie die Koordinaten zweier Punkte an, die auf dieser Gerade und symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs liegen. [2 BE]

e

Vom Punkt $S_t$ aus wird das Lot auf die Ebene E gefällt. Ermitteln Sie diejenigen Werte von $t$, für die der Lotfußpunkt im Inneren des Vierecks $ABCD$ liegt. [5 BE]